Natural ədədlərin sadə vuruqlara ayrılışı. Ən böyük ortaq bölən (ƏBOB)

Sadə və mürəkkəb ədədlər

1-dən böyük olub yalnız iki natural böləni (1 və özü) olan ədəd sadə ədəd adlanır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, … İkidən çox böləni olan ədəd mürəkkəb ədəd adlanır: $12$-nin bölənləri 1, 2, 3, 4, 6, 12-dir.

• 1 nə sadə, nə də mürəkkəb ədəddir: onun cəmi bir böləni var.
• 2 yeganə cüt sadə ədəddir. Qalan cüt ədədlər 2-yə bölünür, deməli mürəkkəbdir.

Ədədin sadə olub-olmadığını yoxlamaq üçün onu kiçik sadə ədədlərə bölürük. Kvadratı ədəddən böyük olan sadə ədədə çatanda dayanmaq olar. Məsələn, 97 ədədi 2-yə, 3-ə, 5-ə, 7-yə bölünmür, $11^2 = 121$ isə artıq 97-dən böyükdür. Deməli, 97 sadədir.

Sadə vuruqlara ayırma

Hər mürəkkəb ədədi sadə ədədlərin hasili kimi yazmaq olar, özü də yalnız bir yolla (vuruqların sırası nəzərə alınmasa). Ayırmanı sütunla aparırıq: ədədi bölünə biləcəyi ən kiçik sadə ədədə bölürük, qismətlə də eyni şeyi edirik, 1 qalana qədər.

$$\begin{array}{r|l} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$$

Sağ sütundakı ədədlərin hasili 360-dır. Təkrarlanan vuruqları qüvvət şəklində yazırıq:

$$\begin{aligned} 360 &= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \\ &= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \end{aligned}$$

Bölənlərin sayı

$72 = 2^3 \cdot 3^2$ ədədinin hər böləni $2^i \cdot 3^j$ şəklindədir: 2-nin qüvvəti 0-dan 3-ə qədər, 3-ün qüvvəti 0-dan 2-yə qədər ola bilər. Bütün bölənləri cədvəldə düzək:

2-nin qüvvəti üçün 4 seçim var (0, 1, 2, 3), 3-ün qüvvəti üçün 3 seçim (0, 1, 2). Hər cüt seçim bir bölən verir:

$$(3 + 1)(2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12$$

Qayda: $a = p^m \cdot q^n \cdot r^k$ olarsa, $a$-nın natural bölənlərinin sayı $(m + 1)(n + 1)(k + 1)$-dir. Hər qüvvətə 1 əlavə edirik, çünki qüvvət 0 da ola bilər.

Ən böyük ortaq bölən (ƏBOB)

İki ədədin hər ikisini bölən ədədə onların ortaq böləni deyilir. Ortaq bölənlərin ən böyüyü ən böyük ortaq bölən adlanır və ƏBOB$(a;\ b)$ kimi yazılır. 72 və 120-nin ortaq bölənləri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24-dür, ən böyüyü 24-dür.

Bölənləri bir-bir yazmaq uzun sürür. Sadə vuruqlara ayırma ilə daha tez alınır: ortaq sadə vuruqları ən kiçik qüvvəti ilə götürüb vururuq.

$$\begin{aligned} 72 &= 2^3 \cdot 3^2 \\ 120 &= 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \end{aligned}$$

Hər iki ayrılışda olan sadə vuruqlar 2 və 3-dür. 2-nin ən kiçik qüvvəti 3, 3-ün ən kiçik qüvvəti 1-dir. 5 yalnız 120-də var, ona görə ƏBOB-a girmir. Deməli, ƏBOB$(72;\ 120) = 2^3 \cdot 3 = 24$.

Niyə ən kiçik qüvvət? Çünki ortaq bölən hər iki ədədə sığmalıdır: 72-də 3-ün yalnız ikinci qüvvəti var, 120-də isə birinci. Hər ikisinə sığan ən böyük qüvvət birincidir.

Ortaq bölənlərin sayı

İki ədədin ortaq bölənləri elə onların ƏBOB-unun bölənləridir. 120 və 180-in neçə ortaq böləni var? ƏBOB$(120;\ 180) = 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, bölənlərinin sayı $(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12$. Deməli, 12 ortaq bölən var.

Üstlü ayrılışlarda ƏBOB

Ədədlər qüvvətlərlə verilibsə, hər sadə vuruq üçün ən kiçik üstü seçirik.

Qarşılıqlı sadə ədədlər

ƏBOB-u 1 olan ədədlər qarşılıqlı sadə adlanır. Onların özləri sadə olmaya bilər: 8 və 9 mürəkkəbdir, amma ƏBOB$(8;\ 9) = 1$.

İki faydalı xassə var:

• iki ədədin ortaq böləni onların fərqini də bölür: 6 həm 18-i, həm 30-u bölürsə, $30 - 18 = 12$-ni də bölür;
• buna görə ardıcıl natural ədədlər həmişə qarşılıqlı sadədir: $n$ və $n + 1$-in ortaq böləni onların fərqini, yəni 1-i bölməlidir.

Bir ədəd o birinin bölənidirsə, ƏBOB kiçik ədədin özüdür: ƏBOB$(12;\ 36) = 12$.

ƏBOB-u verilən ədədlər

ƏBOB$(a;\ b) = d$ olarsa, hər iki ədəd $d$-yə bölünür:

$$a = d \cdot x, \quad b = d \cdot y$$

Burada $x$ və $y$ qarşılıqlı sadədir. Əks halda onların ortaq böləni ƏBOB-u daha da böyüdərdi.

Ortaq olmayan sadə vuruqlar

Testlərdə tez-tez "ortaq olmayan sadə vuruqların hasili" deyilir və adətən $c$ ilə işarə olunur. $a = d \cdot x$, $b = d \cdot y$ olanda ortaq vuruqlar $d$-yə gedir, qalan vuruqlar isə $x$ və $y$-dir. Deməli:

$$c = x \cdot y$$

Məsələn, $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ və $126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$ üçün ƏBOB 6-dır, $x = 10$, $y = 21$, $c = 210$.

Buradan bir düstur çıxır:

$$\begin{aligned} a \cdot b &= dx \cdot dy \\ &= d^2 \cdot xy \\ &= d^2 \cdot c \end{aligned}$$

Yəni $\dfrac{ab}{c} = d^2$. $\dfrac{ab}{c} = 144$ verilibsə, ƏBOB $= 12$-dir.

Həyati məsələlər

ƏBOB "ən böyük bərabər hissə" soruşulanda lazım olur.

• Düzbucaqlını artıq qalmadan ən böyük bərabər kvadratlara kəsmək üçün kvadratın tərəfi tərəflərin ƏBOB-u olmalıdır.
• Sahənin ətrafında bərabər məsafədə dirəklər (künclərdə mütləq) basdırmaq üçün ən böyük məsafə tərəflərin ƏBOB-udur. Dirəklərin sayı perimetrin bu məsafəyə nisbətidir.
• Hər biri eyni qiymətə alınan əşyalara iki nəfər müxtəlif məbləğ xərcləyibsə, qiymət hər iki məbləği bölür. Ən böyük qiymət məbləğlərin ƏBOB-udur.

Qısa xülasə

• Sadə ədədin iki böləni var: 1 və özü. 1 sadə deyil, 2 yeganə cüt sadə ədəddir.
• Ayırmanı ən kiçik sadə ədəddən başlayaraq sütunla apar: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$.
• $p^m \cdot q^n \cdot r^k$ ədədinin $(m + 1)(n + 1)(k + 1)$ böləni var.
• ƏBOB: ortaq sadə vuruqlar, hər biri ən kiçik qüvvəti ilə. Ortaq bölənlər ƏBOB-un bölənləridir.
• Qarşılıqlı sadə: ƏBOB $= 1$. Ardıcıl ədədlər həmişə qarşılıqlı sadədir.
• ƏBOB $= d$: $a = dx$, $b = dy$, $x$ və $y$ qarşılıqlı sadə; $c = xy$, $ab = d^2 c$.
• Ən böyük kvadrat, dirəklər arası ən böyük məsafə, ən böyük qiymət: ƏBOB.