Natural ədədlərin toplanması, çıxılması, vurulması və bölünməsi

Dörd əməl və komponentləri

Hər əməldə iştirak edən ədədlərin öz adı var. Testlərdə şərt elə bu adlarla yazılır, ona görə onları dəqiq bilmək lazımdır:

Əməl	Yazılış	Komponentlər
Toplama	$a + b = c$	$a$ və $b$ toplananlar, $c$ cəm
Çıxma	$a - b = c$	$a$ azalan, $b$ çıxılan, $c$ fərq
Vurma	$a \cdot b = c$	$a$ və $b$ vuruqlar, $c$ hasil
Bölmə	$a : b = c$	$a$ bölünən, $b$ bölən, $c$ qismət

Bilinməyən komponenti o biri ikisindən tapmaq olur:

• toplanan = cəm − o biri toplanan;
• azalan = fərq + çıxılan, çıxılan = azalan − fərq;
• vuruq = hasil : o biri vuruq;
• bölünən = qismət · bölən, bölən = bölünən : qismət.

Testdə tez-tez belə şərt olur: "Fərq azalandan 60 vahid kiçikdir." Azalandan fərqi çıxanda çıxılan qalır, deməli çıxılan 60-dır. Azalanın özünü bilmək lazım deyil. Eyni məntiq başqa əməllərdə də işləyir:

• cəm toplananlardan birindən 25 vahid böyükdürsə, o biri toplanan 25-dir;
• hasil vuruqlardan birindən 8 dəfə böyükdürsə, o biri vuruq 8-dir;
• qismət bölünəndən 6 dəfə kiçikdirsə, bölən 6-dır.

Komponent dəyişəndə nəticə necə dəyişir

• Toplananlardan biri $k$ vahid artanda cəm də $k$ vahid artır.
• Azalan $k$ vahid artanda fərq $k$ vahid artır. Çıxılan $k$ vahid artanda isə fərq $k$ vahid azalır.
• Vuruqlardan biri $k$ dəfə artanda hasil də $k$ dəfə artır.
• Bölünən $k$ dəfə artanda qismət $k$ dəfə artır. Bölən $k$ dəfə artanda isə qismət $k$ dəfə azalır.

Məsələn, $50 - 20 = 30$. Azalanı 7 vahid artırıb çıxılanı 3 vahid azaltsaq, $57 - 17 = 40$ alınar: fərq $7 + 3 = 10$ vahid artdı. Çıxılanın azalması fərqi artırır, çünki daha az çıxırıq.

Əməllərin xassələri

Bu xassələr hesablamanı qısaldır:

Xassə	Toplama	Vurma
Yerdəyişmə	$a + b = b + a$	$a \cdot b = b \cdot a$
Qruplaşdırma	$(a + b) + c = a + (b + c)$	$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Paylama xassəsi vurmanı toplama və çıxma ilə birləşdirir:

$$\begin{aligned} a \cdot (b + c) &= a \cdot b + a \cdot c \\ a \cdot (b - c) &= a \cdot b - a \cdot c \end{aligned}$$

Çıxma və bölmədə yerdəyişmə xassəsi yoxdur: $7 - 3 \ne 3 - 7$, $8 : 2 \ne 2 : 8$.

0 və 1 ilə əməllər:

• $a + 0 = a$, $a \cdot 1 = a$, $a \cdot 0 = 0$;
• 0-a bölmək olmaz. 0-ı isə istənilən natural ədədə bölmək olar: $0 : a = 0$.

Ən böyük və ən kiçik ədədlər

• Ən kiçik $n$ rəqəmli ədəd 1 ilə başlayır, qalan rəqəmləri sıfırdır: 10, 100, 1000.
• Ən böyük $n$ rəqəmli ədədin bütün rəqəmləri 9-dur: 99, 999, 9999.
• Ən kiçik birrəqəmli natural ədəd 1-dir, ən böyüyü 9.

Rəqəmlər müxtəlif olmalıdırsa, ədədi soldan sağa doldururuq. Ən böyük ədəd üçün hər yerə hələ işlənməmiş ən böyük rəqəmi qoyuruq: 9876. Ən kiçik ədəd üçün ən kiçik rəqəmi qoyuruq, amma birinci yerə 0 yazmaq olmaz. Ona görə birinci yerə 1, sonra 0, 2, 3 gəlir: 1023.

Cəmə eyni ədəd əlavə edəndə

Gördük ki, toplananlardan biri $k$ vahid artanda cəm də $k$ vahid artır. Bəs toplananların hər biri $k$ vahid artsa? Onda hər toplanan cəmə öz $k$-sını gətirir. $n$ toplanan varsa, cəm $n \cdot k$ artır.

$503 + 507 + 511 + 515 + 519$ cəmində hər toplanan $3 + 7 + 11 + 15 + 19$ cəmindəki uyğun toplanandan 500 vahid böyükdür. 5 toplanan var, deməli cəm $5 \cdot 500 = 2500$ vahid böyükdür.

Testdə toplananlar çox olur və onların bir hissəsi üç nöqtə (…) arxasında gizlənir. Ona görə əsas iş toplananları saymaqdır. Ədədlər eyni addımla artırsa:

toplananların sayı = (sonuncu − birinci) : addım + 1.

Məsələn, $1, 3, 5, \dots, 19$ ədədlərinin sayı $(19 - 1) : 2 + 1 = 10$-dur. Sondakı $+1$-i unutma: 1-dən 19-a qədər 2-lik addımlar 9 dənədir, ədədlər isə ondan bir çoxdur. Hasar kimi: 9 aralıq üçün 10 dirək lazımdır.

Toplananların hər biri $k$ vahid azalırsa, cəm də $n \cdot k$ azalır.

Sonuncu rəqəmi silinən ədəd

1-ci dərsdə gördük ki, ədədin sağına rəqəm yazmaq onu 10-a vurub o rəqəmi əlavə etmək deməkdir. Tərsinə, ədədin sonuncu rəqəmini silsək, ondan təxminən 10 dəfə kiçik ədəd qalır:

Deməli, şərtdə "bu rəqəmi silsək, ikinci ədəd alınar" deyilirsə, kiçik ədədi $x$ ilə işarə edirik. Böyük ədəd $10x + c$ olur, burada $c$ silinən rəqəmdir.

Fərq verilsə də yol eynidir: $10x + c - x = 9x + c$.

Hasil sadə ədəd olanda

1-dən böyük olub yalnız 1-ə və özünə bölünən ədəd sadə ədəd adlanır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … Sadə ədədi iki natural ədədin hasili kimi yalnız bir yolla yazmaq olar: $23 = 1 \cdot 23$.

Deməli, $a$ və $b$ natural ədədlərdirsə və $ab = 23$-dürsə, onlardan biri 1, o biri 23-dür.

Bərabər hasillər: ən kiçik natural qiymətlər

$5y = 6z$ bərabərliyini ödəyən ən kiçik natural $y$ və $z$ hansılardır? Bərabərliyin iki tərəfi eyni ədəddir, deməli o ədəd həm 5-ə, həm də 6-ya bölünür. 5-lik və 6-lıq addımlarla gedək və ilk dəfə harada görüşdüyümüzə baxaq:

İlk görüş yeri 30-dur: $30 = 5 \cdot 6 = 6 \cdot 5$. Deməli, $y = 6$, $z = 5$.

Qayda belədir: $5y = 6z$ olanda $y$ 6-ya, $z$ isə 5-ə bölünür, yəni hərflər əmsalların yerini alır. Ümumi halda $y = 6k$, $z = 5k$, ən kiçik qiymətlər $k = 1$ olanda alınır.

Əmsalları yerini dəyişmiş ifadə

Şərtdə $3a + 5b = 61$ verilib, $5a + 3b$ isə soruşulur: əmsallar yerini dəyişib. İki ifadənin fərqinə baxaq:

$$\begin{aligned} &(5a + 3b) - (3a + 5b) \\ ={}& 5a + 3b \textcolor{#c8372d}{{}- 3a - 5b} \\ ={}& 2a - 2b \\ ={}& 2(a - b) \end{aligned}$$

Mötərizənin qarşısında mənfi olduğu üçün $3a$ və $5b$ mənfi işarə ilə çıxdı (qırmızı ilə yazılıb). Deməli:

$$5a + 3b = 61 + 2(a - b)$$

Bu ifadə $a - b$ ən böyük olanda ən böyükdür: $a$ mümkün qədər böyük, $b$ isə mümkün qədər kiçik olmalıdır. $b$ kiçildikcə $a$ böyüyür, ona görə $b$-nin ən kiçik uyğun qiymətini axtarırıq. Ən kiçik qiymət soruşulsa, tərsinə, $b$-nin ən böyük uyğun qiymətini axtarardıq.

"Qalan pul az olmasın" məsələləri

"Qalan pulu 10 manatdan az olmasın" o deməkdir ki, ən azı 10 manat qalmalıdır (10 manat da olar). Ona görə əvvəlcə bu pulu kənara qoyuruq, sonra qalanını əşyanın qiymətinə bölürük. Qalıq bizi maraqlandırmır: yarım dəftər almaq olmaz.

Qısa xülasə

• Fərq azalandan $k$ vahid kiçikdirsə, çıxılan $k$-dır. Qismət bölünəndən $k$ dəfə kiçikdirsə, bölən $k$-dır.
• "Neçə dəfə" bölmədir, "neçə vahid" çıxmadır.
• Rəqəmləri müxtəlif olan ən böyük və ən kiçik dördrəqəmli ədədlər 9876 və 1023-dür.
• $n$ toplananın hər biri $k$ vahid artanda cəm $n \cdot k$ artır. Toplananların sayı = (sonuncu − birinci) : addım + 1.
• Sonuncu rəqəmi $c$ olan ədəddən onu silsək, $x$ qalır, ədədin özü isə $10x + c$-dir.
• Hasil sadə ədəddirsə, vuruqlardan biri 1-dir.
• $5y = 6z$ olanda ən kiçik qiymətlər $y = 6$, $z = 5$-dir. Əmsalların ortaq böləni varsa, əvvəlcə ona böl.
• $5a + 3b$ ilə $3a + 5b$-nin fərqi $2(a - b)$-dir.
• "Qalan pul az olmasın": qalmalı olan pulu kənara qoy, sonra böl.