Ən kiçik ortaq bölünən (ƏKOB)

Ortaq bölünən və ƏKOB

Həm $a$-ya, həm də $b$-yə bölünən ədəd onların ortaq bölünəni adlanır. Ortaq bölünənlərin ən kiçiyi ən kiçik ortaq bölünən adlanır və ƏKOB$(a;\ b)$ kimi yazılır.

12-nin misilləri: 12, 24, 36, 48, 60, 72, … 18-in misilləri: 18, 36, 54, 72, … İlk ortaq ədəd 36-dır, deməli ƏKOB$(12;\ 18) = 36$.

Bir avtobus dayanacaqdan hər 12 dəqiqədən bir, digəri hər 18 dəqiqədən bir çıxır. İkisi birlikdə yola düşəndən sonra nə vaxt yenə birlikdə çıxacaqlar?

Birinci avtobus 12-nin misillərində, ikincisi 18-in misillərində çıxır. Birlikdə çıxdıqları an hər iki ədədin misli olmalıdır, ən tezi isə ƏKOB-dur: 36 dəqiqə. Sonrakı görüşlər ƏKOB-un misillərindədir: 72, 108, … dəqiqə.

Sadə vuruqlarla ƏKOB

Misilləri yazmaq böyük ədədlərdə uzun sürür. Sadə vuruqlarla daha tez alınır: ayrılışlarda olan bütün sadə vuruqları ən böyük qüvvəti ilə götürüb vururuq.

$$\begin{aligned} 72 &= 2^3 \cdot 3^2 \\ 120 &= 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \end{aligned}$$

2-nin ən böyük qüvvəti 3, 3-ün ən böyük qüvvəti 2-dir, 5 isə yalnız 120-də var, amma ƏKOB-a o da girir. Deməli, ƏKOB$(72;\ 120) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$.

Niyə ən böyük qüvvət? ƏKOB hər iki ədədə bölünməlidir: 72-yə bölünmək üçün onda $3^2$ olmalıdır, 120-yə bölünmək üçün 5 olmalıdır.

	ƏBOB	ƏKOB
Hansı vuruqlar	yalnız ortaq olanlar	hamısı
Hansı qüvvət	ən kiçiyi	ən böyüyü

ƏBOB və ƏKOB bir şəkildə

İki ədədin sadə vuruqlarını iki dairəyə yazaq. Hər iki ədəddə olan vuruqlar dairələrin kəsişməsinə düşür:

• Ortadakı vuruqların hasili ƏBOB-dur: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24$.
• Bütün vuruqların hasili ƏKOB-dur: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 360$.
• Kənardakı vuruqlar 4-cü dərsdəki $c$-dir (ortaq olmayan sadə vuruqların hasili): $3 \cdot 5 = 15$.

Şəkildən iki düstur görünür. ƏKOB ortadakılarla kənardakıların hasilidir: ƏKOB $=$ ƏBOB $\cdot\ c$. $a \cdot b$ hasilində isə ortadakı vuruqlar iki dəfə sayılır (hər ədəddə bir dəfə), yəni:

$a \cdot b$ = ƏBOB · ƏKOB.

Yoxlama: $72 \cdot 120 = 8640$, $24 \cdot 360 = 8640$.

Hərflərlə: ƏBOB $= d$, $a = dx$, $b = dy$ olarsa, ƏKOB $= dxy$ və $ab = d \cdot dxy$.

Xüsusi hallar

• Qarşılıqlı sadə ədədlər: ortaq vuruq yoxdur, ƏBOB $= 1$, ƏKOB $= a \cdot b$. Məsələn, ƏKOB$(8;\ 9) = 72$.
• $a$ ədədi $b$-nin bölənidir: ƏBOB $= a$, ƏKOB $= b$. Məsələn, ƏKOB$(6;\ 18) = 18$.
• Ardıcıl ədədlər qarşılıqlı sadədir: ƏKOB$(n;\ n + 1) = n(n + 1)$.
• Ardıcıl cüt ədədlər $2k$ və $2k + 2$: ƏBOB $= 2$, ƏKOB $= 2k(k + 1)$.

ƏBOB və ƏKOB-la verilən ədədlər

Ədədlərin özü yox, nisbəti, cəmi, ƏBOB-u və ya ƏKOB-u verilibsə, $a = dx$, $b = dy$ yazırıq ($x$, $y$ qarşılıqlı sadə). Onda ƏKOB $= dxy$.

Eyni qalıq verən ədədlər

Ədədi 8-ə, 12-yə və 18-ə böldükdə hər dəfə qalıqda 5 alınırsa, ondan 5 çıxanda alınan ədəd hər üçünə qalıqsız bölünür. Deməli, $n - 5$ ədədi ƏKOB$(8;\ 12;\ 18) = 72$-nin mislidir:

$$n = 72k + 5$$

Ən kiçik çoxrəqəmli belə ədəd 77-dir ($k = 1$). 5 özü də bu şərti ödəyir ($k = 0$), amma birrəqəmlidir.

Bənzər şəkildə: $\dfrac{n}{8}$, $\dfrac{n}{12}$, $\dfrac{n}{18}$ natural ədədlərdirsə, $n$ hər üçünə bölünür, ən kiçik qiyməti ƏKOB $= 72$-dir.

Həyati məsələlər

• Avtobuslar, işıqforlar, çevrə üzrə hərəkət edən nöqtələr, təkərlər: nə vaxt yenidən birlikdə olacaqları soruşulursa, dövrlərin ƏKOB-unu tapırıq.
• Addım izləri: iki adamın izləri ƏKOB qədər məsafədə bir üst-üstə düşür.
• Eyni kafellərdən ən kiçik kvadrat: kvadratın tərəfi kafelin tərəflərinin ƏKOB-udur.

Qısa xülasə

• ƏKOB: bütün sadə vuruqlar, hər biri ən böyük qüvvəti ilə. ƏBOB: yalnız ortaqlar, ən kiçik qüvvətlə.
• $a \cdot b$ = ƏBOB $\cdot$ ƏKOB; ƏKOB = ƏBOB $\cdot\ c$.
• Qarşılıqlı sadə: ƏKOB $= ab$. $a$ ədədi $b$-nin bölənidirsə: ƏKOB $= b$.
• Ardıcıl ədədlər: ƏKOB $= n(n + 1)$; ardıcıl cüt ədədlər: ƏBOB $= 2$.
• $a = dx$, $b = dy$: ƏKOB $= dxy$.
• Bir neçə ədədə böldükdə eyni qalıq $r$: $n =$ ƏKOB $\cdot\ k + r$.
• "Yenidən birlikdə", "ən kiçik kvadrat": ƏKOB.