Natural ədədlər. Natural ədədlərin onluq say sistemində yazılışı

Rəqəm və ədəd

Ədədləri yazmaq üçün on işarə işlədirik: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Bunlar rəqəmlərdir. Ədəd isə rəqəmlərlə yazılır: 7 birrəqəmli, 25 ikirəqəmli, 2026 dördrəqəmli ədəddir.

Əşyaları saymaq üçün işlətdiyimiz ədədlər natural ədədlər adlanır:

$$\mathbb{N} = \{1;\ 2;\ 3;\ 4;\ \dots\}$$

• Ən kiçik natural ədəd 1-dir. Ən böyük natural ədəd yoxdur: hər natural ədəddən sonra ondan 1 vahid böyük ədəd gəlir.
• 0 natural ədəd deyil.

Onluq say sistemi: rəqəmin yeri

555 ədədində üç eyni rəqəm var, amma hər biri başqa qiymət daşıyır: birinci 5 beş yüzlüyü, ikinci beş onluğu, üçüncü beş təkliyi göstərir. Rəqəmin qiyməti onun durduğu yerdən asılıdır, ona görə bu yazılış mövqeli say sistemi adlanır. Hər yer özündən sağdakından 10 dəfə böyük olduğu üçün sistem onluqdur.

Rəqəmin ədəddə tutduğu yer mərtəbə adlanır. Mərtəbələr sağdan sola sayılır, hər üç mərtəbə isə bir sinif təşkil edir:

Sinif	Mərtəbələri (sağdan sola)
Vahidlər sinfi	təkliklər, onluqlar, yüzlüklər
Minlər sinfi	minliklər, on minliklər, yüz minliklər
Milyonlar sinfi	milyonlar, on milyonlar, yüz milyonlar
Milyardlar sinfi	milyardlar, on milyardlar, yüz milyardlar

Böyük ədədi oxumaq üçün onu sağdan başlayaraq üç-üç ayırırıq: $4\ 307\ 015$ ədədi "dörd milyon üç yüz yeddi min on beş" oxunur. Yazanda isə əksinə: hansı sinifdə rəqəm çatmırsa, onun yerinə sıfır yazılır.

Mərtəbə toplananları

Hər ədədi mərtəbə toplananlarının cəmi kimi yazmaq olar:

$$3507 = 3 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 7$$

Rəqəmləri bilinməyən ədədi hərflərlə yazır və üstündən xətt çəkirik: $\overline{ab}$ rəqəmləri $a$ və $b$ olan ikirəqəmli ədəddir. Onu da mərtəbələrə ayırmaq olar:

$$\begin{aligned} \overline{ab} &= 10a + b \\ \overline{abc} &= 100a + 10b + c \\ \overline{abcd} &= 1000a + 100b + 10c + d \end{aligned}$$

Burada iki şeyi yadda saxla:

• birinci rəqəm sıfır ola bilməz: $a \in \{1;\ 2;\ \dots;\ 9\}$;
• qalan rəqəmlər 0-dan 9-a qədər istənilən rəqəm ola bilər.

Buradan neçə ikirəqəmli ədəd olduğunu da tapmaq olar: $a$ üçün 9, $b$ üçün 10 seçim var, deməli $9 \cdot 10 = 90$ ədəd (10-dan 99-a qədər). Ümumiyyətlə, $n$ rəqəmli natural ədədlərin sayı $9 \cdot 10^{n-1}$-dir: məsələn, üçrəqəmli ədədlər $9 \cdot 100 = 900$ dənədir.

Ədədin sonuna rəqəm yazanda

Ədədin sağına $c$ rəqəmini yazmaq onu 10-a vurub $c$ əlavə etmək deməkdir:

$$\overline{ab7} = 10 \cdot \overline{ab} + 7$$

Məsələn, $437 = 10 \cdot 43 + 7$.

İkirəqəmli ədədin soluna $c$ rəqəmini yazanda isə ona $100c$ əlavə olunur: $\overline{c\,ab} = 100c + \overline{ab}$. Məsələn, 43-ün soluna 6 yazsaq, $600 + 43 = 643$ alınar.

Rəqəmlərin yeri dəyişəndə

İkirəqəmli ədədin rəqəmlərinin yerini dəyişsək, $\overline{ab}$ əvəzinə $\overline{ba}$ alarıq. Bu iki ədədin cəmi və fərqi çox sadə ifadə olunur:

$$\begin{aligned} \overline{ab} + \overline{ba} &= (10a + b) + (10b + a) \\ &= 10a + b + 10b + a \\ &= 11a + 11b \\ &= 11(a + b) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \overline{ab} - \overline{ba} &= (10a + b) - (10b + a) \\ &= 10a + b \textcolor{#c8372d}{{}- 10b - a} \\ &= 9a - 9b \\ &= 9(a - b) \end{aligned}$$

Deməli, ikirəqəmli ədədlə onun "tərsinin" cəmi həmişə 11-ə, fərqi isə 9-a bölünür. Eyni yolla başqa qaydalar da çıxır:

$$\begin{aligned} \overline{abc} - \overline{cba} &= 99(a - c) \\ \overline{abc} - \overline{bac} &= 90(a - b) \\ \overline{aa} - \overline{bb} &= 11(a - b) \\ \overline{aaa} &= 111a = 3 \cdot 37 \cdot a \end{aligned}$$

Sonuncudan görünür ki, eyni rəqəmlərdən düzələn istənilən üçrəqəmli ədəd ($111$, $222$, …, $999$) 37-yə bölünür.

Rəqəmlərə görə tənliklər

$\overline{ab} = 3a + 5b$ kimi şərtlərdə ədədi açıb yazırıq və $a$ ilə $b$ arasındakı əlaqəni tapırıq:

$$\begin{aligned} 10a + b &= 3a + 5b \\ 10a \textcolor{#c8372d}{{}- 3a} &= 5b \textcolor{#c8372d}{{}- b} \\ 7a &= 4b \end{aligned}$$

Qırmızı ilə yazılan hədlər bərabərliyin o biri tərəfinə keçib və işarələrini dəyişib: $3a$ sola keçəndə $-3a$, $b$ sağa keçəndə $-b$ oldu.

$7a$ 4-ə bölünməlidir, deməli $a$ 4-ə bölünür. $a = 4$ olanda $b = 7$; $a = 8$ olanda $b = 14$, bu isə rəqəm deyil. Cavab: $\overline{ab} = 47$. Yoxlama: $3 \cdot 4 + 5 \cdot 7 = 47$.

Həmişə yadda saxla: hərflər rəqəmdir, ona görə onların ala biləcəyi qiymətlər azdır. Tənlikdən sonra seçimləri bir-bir yoxlamaq ən etibarlı yoldur.

Tək və cüt ədədlər

2-yə bölünən ədədlər cüt, bölünməyənlər tək ədədlərdir. Ədədin cüt olub-olmadığını son rəqəmi deyir: 0, 2, 4, 6, 8 ilə bitən ədədlər cütdür.

Əməl	Nəticə
cüt ± cüt	cüt
tək ± tək	cüt
cüt ± tək	tək
cüt · istənilən natural ədəd	cüt
tək · tək	tək

Buradan iki faydalı nəticə çıxır:

• $n$ ilə onun istənilən qüvvəti eyni cütlükdədir: tək ədədin kvadratı, kubu təkdir, cüt ədədinki cütdür;
• ardıcıl iki ədəddən biri mütləq cütdür, ona görə $n(n + 1)$ həmişə cütdür.

Son rəqəm

Testlərdə bəzən nəhəng ədədin yalnız son rəqəmi soruşulur, məsələn, $7^{33}$-ün. Bu ədəd 28 rəqəmlidir, onu hesablamaq mümkün deyil. Amma son rəqəmi tapmaq üçün buna ehtiyac da yoxdur: iki sadə fikir kifayətdir.

Birinci fikir: son rəqəmi yalnız son rəqəmlər müəyyən edir

İki ədədi vuranda nəticənin son rəqəmi yalnız onların son rəqəmlərindən asılıdır. Məsələn, $23 \cdot 47 = 1081$. Hesablamadan da demək olardı ki, cavab 1 ilə bitəcək: $3 \cdot 7 = 21$. Toplamada da belədir.

Deməli, qüvvətin son rəqəmini izləmək üçün hər addımda yalnız son rəqəmi saxlamaq kifayətdir, qalan rəqəmlər heç nəyə təsir etmir.

İkinci fikir: son rəqəmlər dövrlə təkrarlanır

2-nin qüvvətlərinə baxaq və yalnız son rəqəmi izləyək:

$2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32$, … Son rəqəmlər: 2, 4, 8, 6, sonra yenə 2, 4, 8, 6. Niyə təkrarlanır? Növbəti son rəqəmi tapmaq üçün əvvəlkini 2-yə vururuq. 6-dan sonra $6 \cdot 2 = 12$ gəlir, yəni yenə 2 alınır və hər şey təzədən başlayır. Təkrarlanan bu hissə dövr adlanır. 2 üçün dövr 4 addımdır.

Dövrdə harada dayanırıq?

Hər 4 addımda bir tam dövr bitir. Ona görə üstü 4-ə bölürük: tam dövrlər heç nəyi dəyişmir, qalıq isə dövrdə neçənci rəqəmdə dayandığımızı göstərir.

• $2^{10} \Rightarrow 10 = 4 \cdot 2 + 2$. İki tam dövr, sonra 2 addım: dövrün 2-ci rəqəmi, yəni 4. Doğrudan da, $2^{10} = 1024$.
• $2^{8} \Rightarrow 8 = 4 \cdot 2 + 0$. Qalıq 0-dır: dövr tam bitib və biz onun sonuncu, 4-cü rəqəmindəyik, yəni 6. Doğrudan da, $2^8 = 256$.

Bütün rəqəmlərin dövrləri

Eyni yolla hər rəqəmin dövrü tapılır:

Əsasın son rəqəmi	Qüvvətlərin son rəqəmləri
0, 1, 5, 6	dəyişmir
4	4, 6, 4, 6, …
9	9, 1, 9, 1, …
2	2, 4, 8, 6, …
3	3, 9, 7, 1, …
7	7, 9, 3, 1, …
8	8, 4, 2, 6, …

4 və 9-un dövrü 2 addımdır, amma "üstü 4-ə böl" qaydası onlarda da düz işləyir. Ona görə bir qayda yadda saxlamaq kifayətdir:

1. Əsasın yalnız son rəqəmini götür.
2. Üstü 4-ə böl, qalığı tap.
3. Dövrdə qalıq qədər addım at. Qalıq 0-dırsa, dövrün sonuncu rəqəmini götür.

Ardıcıl natural ədədlər

$m$-dən başlayan $k$ ardıcıl natural ədəd belədir: $m,\ m + 1,\ \dots,\ m + k - 1$. Onların ən kiçiyi ilə ən böyüyünün cəmi:

$$m + (m + k - 1) = 2m + k - 1$$

Qısa xülasə

• $\overline{ab} = 10a + b$, $\overline{abc} = 100a + 10b + c$; birinci rəqəm sıfır olmur.
• $\overline{ab} + \overline{ba} = 11(a + b)$, $\overline{ab} - \overline{ba} = 9(a - b)$, $\overline{abc} - \overline{cba} = 99(a - c)$.
• Ədədin sağına $c$ yazmaq: $10N + c$.
• $n$ rəqəmli ədədlərin sayı: $9 \cdot 10^{n-1}$.
• Tək-cütlük: hərflərə 1 və 2 qoyub yoxla.
• Son rəqəm: üstü 4-ə böl, qalığa bax.
• $k$ ardıcıl ədəddə ən kiçik + ən böyük $= 2m + k - 1$.