Natural ədədlərin bölünmə əlamətləri. Qalıqlı bölmə

Bölünmə nə deməkdir

$a$ ədədi $b$-yə qalıqsız (tam) bölünürsə, $a = b \cdot k$ yazmaq olar, burada $k$ natural ədəd və ya 0-dır. Məsələn, $84 = 7 \cdot 12$, deməli 84 ədədi 7-yə bölünür. 0 istənilən natural ədədə bölünür: $0 = 7 \cdot 0$.

Bütün əlamətlər bir fikrə əsaslanır:

• iki toplananın hər biri $b$-yə bölünürsə, cəm də $b$-yə bölünür: $70$ və $14$ 7-yə bölünür, deməli $70 + 14 = 84$ də bölünür;
• toplananlardan biri $b$-yə bölünürsə, cəmin bölünüb-bölünməməsi o biri toplanandan asılıdır.

Ona görə ədədi iki hissəyə ayırırıq: bölünəcəyi əvvəlcədən bəlli olan böyük hissə və kiçik qalan hissə. Sonra yalnız kiçik hissəyə baxırıq.

Son rəqəmə görə: 2, 5 və 10

Əvvəlki dərsdən bilirik ki, sonuncu rəqəmi silinmiş ədədi 10-a vurub həmin rəqəmi əlavə etsək, ədədin özü alınır: $4518 = 10 \cdot 451 + 8$. $10 \cdot 451$ hissəsi 2-yə, 5-ə və 10-a bölünür, çünki 10 bölünür. Deməli, hər şeyi sonuncu rəqəm həll edir:

• ədəd 2-yə bölünür, əgər sonuncu rəqəmi cütdürsə: 0, 2, 4, 6, 8;
• ədəd 5-ə bölünür, əgər sonuncu rəqəmi 0 və ya 5-dirsə;
• ədəd 10-a bölünür, əgər sonuncu rəqəmi 0-dırsa.

Qalıq da sonuncu rəqəmdən tapılır. 4518-i 5-ə böldükdə qalıq 8-i 5-ə böldükdə alınan qalıqdır: $8 = 5 \cdot 1 + 3$, qalıq 3. Doğrudan da, $4518 = 5 \cdot 903 + 3$.

Son iki və son üç rəqəm: 4, 25, 8 və 125

$100 = 4 \cdot 25$, ona görə 100-ün istənilən misli 4-ə də, 25-ə də bölünür. Ədədin son iki rəqəmindən əvvəlki hissəsi elə 100-ün mislidir:

• ədəd 4-ə bölünür, əgər son iki rəqəmindən düzələn ədəd 4-ə bölünürsə: 7316 (16), 5900 (00);
• ədəd 25-ə bölünür, əgər son iki rəqəmi 00, 25, 50 və ya 75-dirsə.

$1000 = 8 \cdot 125$, ona görə 8-ə və 125-ə bölünmədə son üç rəqəmə baxırıq: 51 312 ədədi 8-ə bölünür, çünki $312 = 8 \cdot 39$.

Qalıq da eyni yolla tapılır: 7319-u 4-ə böldükdə qalıq 19-u 4-ə böldükdə alınan qalıqdır, $19 = 4 \cdot 4 + 3$, qalıq 3.

Rəqəmlərin cəmi: 3 və 9

3-ə və 9-a bölünmədə sonuncu rəqəmlər heç nə demir: 12 də, 22 də 2 ilə bitir, amma 3-ə yalnız 12 bölünür. Burada rəqəmlərin hamısı lazımdır. Səbəbi budur: 10, 100, 1000 ədədləri 9-a bölünən ədəddən cəmi 1 vahid böyükdür.

Addım-addım yazaq. Əvvəlcə ədədi mərtəbələrə ayırırıq:

$4518 = 4 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 8$

Sonra hər mərtəbəni 9-a bölünən hissə ilə rəqəmin özünə ayırırıq:

$\begin{aligned} 4 \cdot 1000 &= 4 \cdot (999 + 1) = 4 \cdot 999 + 4 \\ 5 \cdot 100 &= 5 \cdot (99 + 1) = 5 \cdot 99 + 5 \\ 1 \cdot 10 &= 1 \cdot (9 + 1) = 1 \cdot 9 + 1 \end{aligned}$

Hamısını toplayırıq:

$\begin{aligned} 4518 &= (4 \cdot 999 + 5 \cdot 99 + 1 \cdot 9) \\ &\quad + \textcolor{#c8372d}{(4 + 5 + 1 + 8)} \end{aligned}$

Birinci mötərizə 9-a bölünür, çünki 999, 99 və 9 bölünür. Qalır qırmızı mötərizə, yəni rəqəmlərin cəmi: $4 + 5 + 1 + 8 = 18$. 18 ədədi 9-a bölünür, deməli 4518 də bölünür.

• ədəd 9-a bölünür, əgər rəqəmlərinin cəmi 9-a bölünürsə;
• ədəd 3-ə bölünür, əgər rəqəmlərinin cəmi 3-ə bölünürsə (999, 99, 9 ədədləri 3-ə də bölünür).

Qalıq üçün də eyni qayda işləyir: ədədi 9-a (3-ə) böldükdə qalıq onun rəqəmlərinin cəmini 9-a (3-ə) böldükdə alınan qalıqdır. 4523-ün rəqəmlərinin cəmi 14-dür, $14 = 9 \cdot 1 + 5$, deməli 4523-ü 9-a böldükdə qalıq 5-dir.

3-ə bölünmədə adətən bir yox, bir neçə cavab olur. $\overline{4x7}$ ədədinin 3-ə bölünməsi üçün $11 + x$ cəmi 3-ə bölünməlidir: 12, 15 və ya 18. Deməli, $x$ 1, 4 və ya 7 ola bilər. Qiymətlər 3 addımla gedir.

Mürəkkəb əlamətlər: 6, 12, 18, 30, 45

6-ya bölünən ədəd həm 2-yə, həm 3-ə bölünür. Tərsinə də doğrudur: ədəd 2-yə də, 3-ə də bölünürsə, 6-ya bölünür. Başqa bölənləri də belə iki əlamətə ayırırıq:

Bölən	Hansı iki əlamət
6	2 və 3
12	3 və 4
15	3 və 5
18	2 və 9
30	3 və 10
36	4 və 9
45	5 və 9

Qalıqlı bölmə

Ədəd bölünmürsə, qalıqlı bölürük. 23 almanı 5-li qutulara yığaq:

4 qutu dolur, 3 alma qalır:

$$23 = 5 \cdot 4 + 3$$

Ümumi halda:

$$a = b \cdot q + r, \quad 0 \le r < b$$

Burada $a$ bölünən, $b$ bölən, $q$ natamam qismət, $r$ isə qalıqdır. Ən vacib şərt qalığın böləndən kiçik olmasıdır. 5 alma qalsaydı, daha bir qutu dolardı.

Bu şərtdən iki nəticə çıxır:

• $b$-yə böldükdə ola biləcək qalıqlar $0, 1, 2, \dots, b - 1$-dir, cəmi $b$ dənə. 7-yə böldükdə ən böyük qalıq 6-dır.
• Şərtdə qalıq hərflə verilibsə, onun böləndən kiçik olduğunu yazmağı unutma. Çox vaxt cavabı elə bu şərt müəyyən edir.

Qalıqlarla hesablama

$a$ ədədini 7-yə böldükdə qalıq 6, $b$ ədədini isə 3-dür. Bu ədədlərin özünü bilmədən $a + b$ və $a \cdot b$ ədədlərinin 7-yə bölünməsindən alınan qalıqları tapmaq olar. $a = 7k + 6$, $b = 7m + 3$ yazaq.

Cəm:

$$\begin{aligned} a + b &= 7k + 6 + 7m + 3 \\ &= 7k + 7m + 9 \\ &= 7k + 7m + 7 + 2 \\ &= 7(k + m + 1) + 2 \end{aligned}$$

Hasil, mötərizələri bir-bir açaraq:

$$\begin{aligned} a \cdot b &= (7k + 6)(7m + 3) \\ &= 49km + 21k + 42m + 18 \\ &= 49km + 21k + 42m + 14 + 4 \\ &= 7(7km + 3k + 6m + 2) + 4 \end{aligned}$$

Qalıqlar 2 və 4 çıxdı. Bunlar elə qalıqların cəmindən və hasilindən alınan qalıqlardır: $6 + 3 = 9$, 9-u 7-yə böldükdə qalıq 2; $6 \cdot 3 = 18$, 18-i 7-yə böldükdə qalıq 4. 7-yə bölünən hissələr heç nəyə təsir etmir.

Qayda: cəmin, hasilin və qüvvətin qalığını tapmaq üçün hər ədədi öz qalığı ilə əvəz et, alınan ədədin qalığını tap.

Böləni dəyişəndə qalıq

Ədədi 21-ə böldükdə qalıq 16-dır. Onu 7-yə böldükdə qalıq neçədir? 21 ədədi 7-yə bölünür, ona görə:

$$\begin{aligned} n &= 21q + 16 \\ &= 7 \cdot 3q + 14 + 2 \\ &= 7(3q + 2) + 2 \end{aligned}$$

Qalıq 2-dir, yəni köhnə qalığı (16) yeni bölənə (7) böldükdə alınan qalıq.

İki şərt birlikdə

5-ə böldükdə qalıqda 3 alınan və 4-ə bölünən ikirəqəmli ədədləri tapaq. 5-ə böldükdə qalıq 3 olan ədədlər 5-lik addımla gedir: 3, 8, 13, 18, 23, 28, … Bunlardan ilk dəfə 4-ə bölünəni 8-dir. Sonrakılar 20-lik addımla gəlir, çünki həm 4-ə, həm 5-ə bölünən ən kiçik ədəd 20-dir: 8, 28, 48, 68, 88. İkirəqəmlilər 28, 48, 68 və 88-dir.

Qısa xülasə

• 2, 5, 10: sonuncu rəqəmə bax. 4, 25: son iki rəqəmə. 8, 125: son üç rəqəmə.
• 3, 9: rəqəmlərin cəminə bax. Qalıq da rəqəmlərin cəminin qalığıdır.
• 6, 12, 18, 30, 45 kimi bölənləri ortaq böləni olmayan iki əlamətə ayır: 12 = 3 · 4.
• $a = b \cdot q + r$, $0 \le r < b$. Qalıq böləndən kiçikdir: $b$-yə böldükdə ən böyük qalıq $b - 1$-dir.
• Cəmin, hasilin və ifadənin qalığı üçün hər ədədi öz qalığı ilə əvəz et.
• Köhnə bölənin bölənlərinə keçəndə köhnə qalığı yeni bölənə böl.